CAROLINA+GALARZA

Carolina Galarza

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 * 13) Cos ( x + y) Cos (x – y ) = Cos²x - Sen²y**

(Cos x Cos y – Sen x Sen y) (Cos x Cos y + Sen x Sen y ) = Cos x² - Sen y²

Cos x2 Cos y2 + Sen x Sen y Cos x Cosy - Sen x Sen y Cos x Cosy - Sen x 2 Sen 2y = Cos x² - Sen y²

Cos x² - Sen y² = Cos x² - Sen y²

 **Sen x Sen y**
 * 17) Ctg x + Ctg y = Sen ( x + y)**

Ctg x + Ctg y = Sen x Cos y + Cos x Sen y  Sen x Sen y    Sen x Cos y + Cos x Sen y = Sen x Cos y + Cos x Sen y  Sen x Sen y Sen x Sen y

Sen x Cos y + Cos x Sen y = Sen x Cos y + Cos x Sen y Sen x Sen y Sen x Sen y

Carolina

Trabajo en Clase CALCULAR: i264239 a) 1 b) -1 c) 2 d) -i e) i I39= i36 .i3 1 .–i -i CALCULAR: i-2937722649 a) 1 b) -1 c) 2 d) –i e) i i-49 = i-48.i1 -1.  SIMPLIFICAR: i52 + i73 +i65 –i482 +i33 i­441+i89+i79 a) –i b) i c) 2i d) 3 e)1  1+i+i+1+i i+i-i  2+3i i 2+2i: 2i  SIMPLIFICAR C: i-5-i-15+i-49-i-18+i-400+2i-14 i-6-i-50-i-23+i-35+i-441  a) 1 b) 2 c) -2 d) -3 e) 3  i+i+i-1-1-2 1-1+i-i+i  3i i =3

DEFINICION: Se llama número complejo a todo par ordenado (a, b) de números reales tomando en cierto orden. Ejemplo: (5, -2), (3, 1/6), (7, -9). Donde los números reales a, b se llaman componentes del número complejo, es así que a se denomina primer componente; y b se denomina segunda componente. NÚMEROS COMPLEJOS es la expresión (a+bi) .. ay b son números reales. Ejemplo: 2-3i 4-7i -8+13i -22-9i COMPONENTES la expresión (a+bi) se llama forma binómica de un número complejo que tiene dos componentes: a= componente real o parte real b= componente imaginario o parte imaginaria De los ejemplos anteriores: Parte Real (con negrilla) Parte imaginaria (subrayada) UNIDAD REAL se tiene como 1= (1, o), donde b=0 UNIDAD IMAGINARI se tiene como i= (0, 1), donde a=o IGUALDAD dos números complejos son iguales solo cuando tienen la misma componente o parte real y la misma componente o parte imaginaria. Ejemplo: (8, √2) = (23, 21/2), por que 8= 23 y √2= 21/2. LOSS NUMEROS REALES NUMEROS COMPLEJOS CUYA PARTE IMAGINARIA (B) NO ES CERO. Es decir, que numero complejo es real o imaginario. Ejemplo: (-3, 4), LOS NUMEROS IMAGINARIOS PUROS son los imaginarios cuya parte real (a) es cero. Ejemplo: (0, 2i). Los números complejos son (a+bi) y (-a –b), se denomina OPUESTO. Ejemplo: (2+3i) su opuesto es (-2 -3i) (-4 +3i) su opuesto es (4 -3i) Los números complejos Z= a+bi y z= a-bi, se denominan CONJUGADOS. EJEMPLOS: Los números complejos siguientes: 3+oi= 3; √6 +0i= √6, -6/7 + 0i= -6/7 SON REALES. 2 + 5i; ½ √3 +6i,, -3+ 1/2i SON IMAGINARIOS. 5i; -i; 10i; 6/7i SON IMAGINARIOS PUROS. El opuesto de Z= 3-7i, es z=-3+7i. El conjunto de z=3-7i, es z=3+7i. REPRESENTACION GRÁFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. Los números complejos se representan en los ejes cartesianos, el eje x se denomina eje real y el eje y se denomina eje imaginario. El plano donde se representan los números complejos se denomina plano complejo o de Gauss. El numero complejo a+bi se representa mediante el punto (a,b) que se llama su afijo, o mediante un vector (flecha) o de origen (o,o) y extremo (a,b).
 * 2** + __3i__
 * 4** – __7i__
 * -8** + __13i__
 * -22** __– 9i__

EJEMPLO IMAGINARIO

· Hallar el valor que han de tener x e y para que se cumpla 5+xi= y-6i. Como es una igualdad tenemos, es decir, real como real e imaginario como imaginario. 5= y; y, x= -6. · Resolver la ecuación siguiente y representarla en el plano complejo: x2 – 4x +13= o

Trabajo 2 1) Si (2x, y)= (4x +1), es una igualdad entre números complejos, encontrar x e y. 2x= 4x+1 y= 3y-1  -1= 2x 1= 2y  -1/2= x 1/2 = y

2) Si (3x+4/2, 2y+1/5)= (0, 0), es una igualdad entre números complejos, encontrar x e y. 3x+4/2= 0 2y+1/5=0  3x+4= 0 2y+1=0  X=4/3 y= -1/2

3) Si (5x-3/4 ; 2x+y/5)=(0,0) es una igualdad entre números complejos, encontrar x e y. 5x-3=0 3x+y=0  X=3/5 9/5=y  1) 5-3i 2) ½ + 5/4i 3)-5i 4)7 5) √ 3i 6)0 7)-1-i 8)-7+4i
 * Representa gráficamente los siguientes números complejos en un solo plano.

1) x2+4=0 √x2= √-4  X= -2i  2) x2+6x+10=0 x= -6 ± V4.1.10/ 2 x= -6 ± √-4 / 2 x= -6±-2i / 2 x= 2(-3±-i)/2 x1= -3-i 3) 3x2+27= 0 √3x2= √-27  3x= 3√3i  X= 3√3 / 3  X=√-3  X=-3i  4) 3x2 – 27=0 √3x2= √27 3x= 3√3 X= 3√3 / 3 X=√3 1) 3 – 5 i  2) 5 + 2i  3) -1 – 2i  <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 72pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid; text-indent: -18pt;">4) -2 + 3i <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 54pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid;"> <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 72pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid; text-indent: -18pt;">5) 5 <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 54pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid;"> <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 72pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid; text-indent: -18pt;">6) 0 <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 54pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid;"> <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 72pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid; text-indent: -18pt;">7) 2i <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 54pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid;"> <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 72pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid; text-indent: -18pt;">8) -5i <span style="font-family: 'Century Gothic'; margin-bottom: 10pt; margin-left: 54pt; margin-right: 0cm; margin-top: 12pt; page-break-after: avoid;"> OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos es otros números complejos, que se obtiene del siguiente modo: Si (a,b) +(c,d)= (a+c, b+d) Resta (a,b)-(a-c, b-d) Suma Forma binómico (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i Resta forma binómico (a + bi) – (c+di)= (a-c)+(b-d)i Multiplicación en forma binómico (a+bi).8c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i El producto de un némero complejo, c + di, por su conjugado, c –di, es siempre un numero real. (c+di).(c-di)=c2-cdi+cdi+d2= c2+d2  Por lo tanto, para sumar cantidades complejas se suman componentes a componentes, es decir, se suma las partes reales entre si y las partes imaginarias entre si.  Ejemplos:  (2, 6) + (3, -8)= (2+3, 6 -8)= (5, -2)  (7, 6) – (1, 6)= (7 -1, 6 +6) = (6, 0)= 6. En este ejemplo muestra que la suma entre dos números complejos puede dar como resultado un número real.  En forma binómico: (2, 6i) + (3, -8i)=2+3+6i-8i=5-2i  (7.6i)-(1, -6i)= 7 – 1 -6i + 6i =6  Multiplicacion:  (3+4i) . (3 -5i)= (3. (2 – 5i) +4i. (2 -5i)=6-15i+8i-20i2= 6-7i+20=26-7i (4-√3i). (√3i). (√2 – i) = 4. (√2 – i) - √3i (√2 –i)= 4√2 -4i -√3√2i+√3i2 =4√2-4i -√6i-√3 = (4√2-√3) + (-4-√6)i (5+3i). (5-3i)= 25-15i+15i-9i2 = 25+9 =34 Obtener un polinomio de Segundo grado cuyas raices son 5 – 2i y 5 + 2i Primer metodo S= 5 -2i+5+2i=10 P=(5-2i) (5+2i)= 29 X2 –sx +p = 0 X2-10x +29=0 Segundo metodo[x – (5-2i)]. [x- (5+2i)]=[(x-5)+2i] [(x-5)-2i] = (x-5)2-(2i)2 =x2-10x +25 -4i2 =x2 -10x +25 +4 =x2-10x +29
 * Resuelve las siguientes ecuaciones y represente graficamente
 * Representar gráficamente (individualmente)el opuesto el conjugado de.

(2 +xi)2= 4+4xi + (xi)2 Para que sea imaginario puro, = 4 + 4xi – x2 su parte real debe ser cero
 * ¿Cuanto ha de valer x, real, para que (2+xi)2 sea imaginario puro?

=(4 – x2)+4i (4 – x2)= 0

4 – x2 = 0 √4 =√x2; x = ±2

Propiedades de las operaciones con números complejos.
 * La suma de los números complejos cumple las propiedades asociativas y conmutativas.
 * El cero es el elemento neutro de la suma.
 * La multiplicación de los números complejos cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
 * El uno es el elemento neutro de la multiplicacion.
 * Todos los números complejos, a + bi, tiene un inverso 1/(a+bi), menos del cero.
 * La multiplicacion es distributiva respecto a la suma.
 * Todas las propiedades de los números reales se pueden aplicar a los números complejos.

__**La linea Recta**__
Pendiente, pto de intersección: y = (-A/B)x + (-C/B) Y = mx + b Forma trigonométrica: x Cos α + y Sen α –p = 0 Cos α = A/ ±√(A2+B2) Sen α = A / ±√(A2+B2) -P = C / ±√(A2 +B2) Distancia de un punto a una Recta: d = Ax1 ­+ By1 + C / ±√A2 + B2

El signo del radical se escoge observando la siguiente regla: 1. El signo del radical es el opuesto del término independiente C 2. Si C = 0, el signo del radical es el mismo que el de B  3. Si B = C = 0, el signo del radical es el mismo que el de A

**__Distancia Dirigida__**

**__Definiciones:__** **Altura:** Es la recta perpendicular de un segmento al vértice opuesto. **Ortocentro:** Es el punto de intersección de la altura **Mediana:** Es el segmento recto que va desde el punto medio al vértice opuesto. **Baricentro:** Es el punto de intersección de las medianas. **Mediatriz:** Es el segmento recto perpendicular que divide al segmento en dos partes iguales. **Circuncentro:** Es el punto de intersección de las mediatrices. **Recta De Euler:** Es la recta que une los tres puntos de intersección: de las alturas, medianas y mediatrices, llamados Ortocentro, baricentro y Circuncentro respectivamente.

<span style="display: block; line-height: 18.0pt; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 4.8pt; text-align: justify;">En geometria la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos ; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de linea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin. <span style="display: block; line-height: 18.0pt; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 4.8pt; text-align: justify;">Es uno de los e <span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-origin: initial; color: windowtext; text-decoration: none;">ntre geometricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los P <span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-origin: initial; color: windowtext; text-decoration: none;">ostulados caracteristicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra M <span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-origin: initial; color: windowtext; text-decoration: none;">inuscula. <span style="display: block; line-height: 18.0pt; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 4.8pt; text-align: justify;">Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. __﻿__

**Funciones** f (x + h) – f (x) = - h/x2 + xh x- x –h/ x (x+h) = -h/ x2 + xh -h/x2 +xh = -h/x2 +xh
 * **Dado la f (x) 1/x, demostrar que f (x + h) – f(x) = - h/ x2 + xh**

4(z + 1) = 3 (z) 4(z +1) – z = 3(z) 3(z) = 3(z)
 * **Dado ø (z) = 4z, demostrar que ø (z + 1) –ø(z) = 3ø (z)**


 * **Si ø(x) = ax, demostrar que ø(y) . ø(z) = ø (y + z)**

øy. øz = ø (y + z) ø (y + z) = ø (y + z)

Sen (x + 2h) – senx = 2 cos (x + h) sen h Sen x _ sen 2h – sen x = 2 cos sen h (x +h)
 * **Dado f(x)= sen x, demostrar que f (x +2h) - f (x) = 2cos ( x + h) sen h**

**Introducción al Cálculo** Grafica de una función contínua



Si x varia continuamente en el intervalo [a, b] desde x = a hasta x= b



X aumenta continuamente en el intervalo [a, b] que incluya x= o decrecerá continuamente desde 1/a hasta 1/b

**Limites** Se dice que la variable v tiene a la constante l, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v-2 puede llegar a ser finalmente, menos que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. Esta relación está definida se escribe lim v=2. Por conveniencia, nos servimos de la notación v →2, que se lee, “v tiende a 2”.

Ejemplo: Si v toma una sucesión infinita de valores. 3 + 1; 3 + 1/2 ; 3 + ¼; …; 3 + 1/2n; … Es evidente que v →3, al crecer n, lim v= 3


 * Limite de una Función**

Lim z= a, que se leerá al límite de z, cuando v tiende a l, es a x→c


 * Teoremas**

lim ( A + B – C) = lim A + lim B – lim C x→a x→a x→a x→a

lim(A . B . C) = lim A. lim B. lim C x→a x→a x→a x→a

lim A lim (A/B) = x→a .: B ‡ 0 x→a lim B x→a

Si c es una constant

Lim (A + C) = lim A + C; lim (C . A)= c. lim A; lim (C/A) = c x→a x→a x→a x→a x→a lim A x→a

Ejemplos:

lim (x2 + 4x) = lim x2 + lim 4x = lim (2)2 + lim 4(2) = 4 + 8 = 12 x→2 x→2 x→2 x→2 x→2
 * Demostrar que lim (x2 + 4x) = 12**
 * x→2 **

- lim (z2 – 9) lim z2 – 9
 * Demostrar que: lim z2 – 9/z + 2 = -5/4**
 * x→2 **
 * lim z2 – 9/z + 2 =** z→2 =z→2 =(2)2 – 9 = 4 – 9 = -5/4
 * z→2 ** lim z + 2 lim z + 2 2 + 2 2 + 2 z→2 z→2

lim x2 – 4 x→2
 * Demostrar que lim x2 – 4**
 * x→2 X - 2**
 * lim x2 – 4 =** x→2 = 4 – 4 =o / o
 * x→2 X ** **– 2** lim x – 2 2 - 2

Indeterminación

Entonces la levantamos, cómo lo hacemos, factorando

Lim x2 – 4 = lim (x + 2) (x – 2) = lim (x + 2) = 4 x→2 x→2 x – 2 x→2 **Límites con tendencia cero e infinitos** C es una constante y diferente de cero Lim c/0 = ∞ c/o = ∞ x→o

lim c v =∞ c. ∞ = ∞ x→∞

lim c/v = 0 c/∞ = 0 x→∞